Ở cấp Trung học Cơ sở, các em học sinh khối 8 được cho là học nặng nhất bởi các em phải tiếp xúc với rất nhiều dạng toán mới như hằng đẳng thức ở đại số, các dạng hình học, tính chất và định lý của chúng. Tất cả là để chuẩn bị cho lớp 9 và kỳ thi lên cấp Trung học Phổ thông đầy cam go. Trong số những kiến thức các em được học thì kiến thức về bất phương trình rất nên được các em chú trọng. Bài viết dưới đây là cách giải bất phương trình với đầy đủ lý thuyết cần thiết và bài tập để các em ôn luyện.
1. Bất phương trình một ẩn
Bất đẳng thức một biến là loại bất đẳng thức có dạng f(x) > g(x) ( hoặc f(x).
Nếu số x0 thỏa mãn bất phương trình f(x), ta gọi đó là nghiệm.
Khi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm, chúng được coi là tương đương nhau.
Quá trình chuyển đổi tương đương xảy ra khi chuyển đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương.
Một số quy tắc thay đổi phương trình tương đương thường được sử dụng là:.
Đổi vế: f(x) + h(x) > g(x) ⇔ f(x) > g(x) – h(x).
Nhân (phân chia):.
Nếu h(x) > 0 với mọi x, thì f(x) > g(x) ⇔ f(x).H(x) > g(x).H(x).
F(x) lớn hơn g(x) ⇔ f(x) nhân với h(x).
2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn:
Bất đẳng thức một ẩn là loại bất đẳng thức có hình thức là ax + b > 0 (hoặc ax + b).
Giải bất phương trình ax + b > 0 (1).
Ta có (1) ⇔ ax > -b.
Nếu a lớn hơn 0 thì (1) ⇔ x lớn hơn -b/a.
3. Bất phương bậc hai một ẩn:
Đầu tiên, chúng ta cần định nghĩa lại các từ trong đoạn văn:- Phương trình bậc hai một ẩn: biểu thức toán học có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các hệ số và x là ẩn.- Dạng: cách thức hoặc kiểu mẫu.- ≤: Nhỏ hơn hoặc bằng.- ≥: Lớn hơn hoặc bằng.Sau khi hiểu các từ trên, chúng ta có thể rewrite lại đoạn văn:Biểu thức toán học có dạng ax² + bx + c = 0 là một phương trình bậc
Trong đó, x được được đặt tên là ẩn; a, b, c là các số thực với a không bằng 0.
Giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0.
Ví dụ 1: Giải phương trình không có nghiệm sau: 3x² + 2x + 5 > 0.
Luôn dương luôn f(x) nên vậy 0 > 3 = a và f(x) > 0 có f(x) = 3x² + 2x + 5, ta có đặt f(x).
Vì vậy, tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞, +∞).
Ví dụ 2: f(x) = -2x² + 3x + 5, chúng ta có a = -2.
Dựa vào bảng xét dấu chúng ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-1;5/2).
4. Tập nghiệm của bất phương trình:
Nếu chúng ta thay thế x = 0 vào một bất phương trình và kết quả chúng ta nhận được là một bất đẳng thức đúng, thì giá trị x = 0 được coi là giải của một bất phương trình nào đó.
Đoạn văn đã được chỉnh sửa:Phương trình đó có nghiệm tập tìm là nghĩa là tất cả các nghiệm của phương trình đó được tìm thấy trong tập hợp đã cho. Điều này đúng theo đề bài, vì phương trình được giải bằng cách tìm nghiệm trong tập đã cho.
Hai bất phương trình được cho là đồng quy khi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
Ví dụ:.
Hình 1a thể hiện tập nghiệm của bất đẳng thức x > 2.
Hình 1b mô tả tập nghiệm của bất phương trình x nhỏ hơn hoặc bằng 4.
5. Những quy tắc cần nhớ
Chuyển vị hạng tử khi di chuyển một hạng tử trong một bất phương trình từ một bên sang bên kia, theo quy tắc di chuyển.
Nhân quy tắc với một số:.
Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số khác không, chúng ta phải:.
Nếu số đó là số dương thì chúng ta giữ nguyên hướng của bất phương trình.
Nếu số đó là số âm thì chúng ta cần thay đổi hướng của bất phương trình.
6. Các dạng toán và phương pháp giải bất phương trình
Đường biểu đạt nghiệm hoặc tập nghiệm của một bất phương trình trên trục số có thể được xác định dưới dạng 1.
Phương pháp:.
Chúng ta áp dụng những quy định sau đây:.
Chuyển đổi dấu hạng tử đó phải ta thì kia bên vế sang này bên vế từ bất phương trình một trong tử hạng dấu chuyển đổi phải ta thì kia bên vế sang này bên vế hạng tử dấu chuyển đổi từ phương trình bất.
Cần nhân cả hai bên của một bất phương trình với một số khác 0 để thay đổi cấu trúc.
Nếu số đó là số dương thì chúng ta giữ nguyên hướng của bất phương trình.
Nếu số đó là số âm thì chúng ta cần thay đổi hướng của bất phương trình.
Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc quy đồng mẫu số để biến đổi bất phương trình.
Dạng 2: Xác định hai phương trình không đồng quy.
Phương pháp:.
Tương tự: Bất phương trình tương đương được xem là như nhau khi có cùng tập nghiệm.
Dạng 3: Giải phương trình bậc hai.
Phương pháp:.
Bước 1: Chuyển đổi bất phương trình thành dạng tam thức bậc hai, một vế bằng 0.
Bước thứ hai: Kiểm tra điều kiện trên dấu của phương trình bậc hai và suy ra kết luận về các giá trị của nghiệm.
Dạng 4: Giải phương trình bất tích.
Phương pháp:.
Bước 1: Chuyển đổi bất phương trình thành dạng tích của các biểu thức bậc nhất và bậc hai.
Bước 2: Phân tích các biểu thức tuyến tính và đa thức bậc hai trên và rút ra kết quả.
Dạng 5: Giải phương trình không đồng nghĩa chứa ẩn ở mẫu.
Phương pháp:.
Bước 2: Thay đổi các biểu thức bậc nhất và tam thức bậc hai thành dạng chuẩn.- Bước 3: Giải các biểu thức bậc nhất và tam thức bậc hai đã được thay đổi.- Bước 4: Kiểm tra giá trị của bất phương trình đã cho.
Bước 2: Phân tích các biểu thức tuyến tính và đa thức bậc hai trên và rút ra kết quả.
Lưu ý: Nên chú ý các điều kiện xác định của bất phương trình.
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình không có nghiệm – có nghiệm – nghiệm duy nhất.
Phương pháp:.
Một biểu thức luôn có giá trị không âm khi sử dụng một số tính chất như lập phương, căn hai.
Dạng 7: Giải hệ không đẳng thức bậc hai.
Phương pháp:.
Bước 1: Giải từng phương trình không xác định có trong hệ.
Bước 2: Tổng hợp giải pháp và kết luận.
B. BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. TRẮC NGHIỆM VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1: Bất phương trình ax + b > 0 không có nghiệm khi:.
A) nếu a ≠ 0 và b = 0.
B) a lớn hơn 0 và b bằng 0.
C) nếu a = 0 và b ≠ 0.
D) a = 0 và b khác 0.
Câu trả lời đúng là: D.
Câu 2: Tập hợp S của bất phương trình: 5x – 1 ≥ (2x/5) + 3 là?
A) S = R.
B) x lớn hơn 2.
C) x.
D) x ≥ 20/23.
Câu trả lời đúng là: D.
Nghiệm nguyên lớn hơn 10 là các số nguyên từ 11 trở đi. Bây giờ chúng ta sẽ giải bất phương trình để tìm các giá trị của x mà thỏa mãn điều kiện này. Đầu tiên, chúng ta sẽ đưa toàn bộ các thành phần của bất phương trình về cùng một mẫu số. Ta nhân cả hai vế của bất phương trình với 2 và 3 để loại bỏ các mẫu số trong đó. 2 * [(3x + 5)/2] – 2 * 1 ≤ 3 * [(x + 2)/3 + x] Rút gọn biểu thức này, chúng ta có: 3x + 5 – 2 ≤
A) 4.
B) 5.
C) 9.
D) 10.
Đáp số đúng là: B.
Câu 4: Tập hợp S của bất phương trình: (1 – √2)x.
A) Giá trị của x lớn hơn 2.
B) x lớn hơn √2.
C) x.
D) S = R.
Đáp số đúng là: B.
Tập hợp các giá trị của biểu thức (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 không vượt quá (x – 1)(x + 3) + x² – 5 được gọi là gì? Câu 5.
A) x.
B) x ≥ -2/3.
C) S = R.
D) S = Rỗng.
Câu trả lời đúng là: D.
Câu 6: Giải phương trình bất đẳng thức: 2x + 4.
A) x lớn hơn 6.
B) x.
C) x.
D) x lớn hơn 8.
Đáp số đúng là: B.
Câu 7: Giải bất đẳng thức: 8x + 4 > 2(x + 5).
A) Giá trị của x lớn hơn 2.
B) x.
C) x lớn hơn -1.
D) x lớn hơn 1.
Đáp án đúng là: D.
Câu 8: Giải bất phương trình: (x + 2)/3 +3x + 1 > (x – 2)/2.
A) x > -6/7.
B) x.
C) x > -16/17.
D) x > -6/11.
Câu trả lời đúng là: C.
Câu 9: Giải bất phương trình: (x + 2)(x – 3) > (2 – x)(6 – x).
A) x > 2.57.
B) x > 1.57.
C) x.
D) x.
Đáp án đúng là: A.
Câu 10: Tìm m sao cho x = 2 là giá trị thỏa mãn cho bất phương trình: mx + 2.
A) m bằng 2.
B) m.
Nếu m > 1.
D) m.
Câu trả lời đúng là: B.
Câu 11: Những bất phương trình nào là bất phương trình một biến?
A) 2x – 3
B) 0.X + 5 > 0.
C) 5x – 15 ≥ 0.
D) x² > 0.
Câu trả lời đúng là: A và C.
II. TỰ LUẬN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1: Giải các phương trình không xác định (theo quy tắc đổi vế).
A) x – 3 lớn hơn 5.
B) 2x ≥ x + 2.
C) 2x – 4
D) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5.
E) 3x – 5 > 2(x – 1) + x.
Hướng dẫn giải bài:
A) x – 3 lớn hơn 5.
⇔ X lớn hơn 5 cộng 3.
⇔ X lớn hơn 8.
Vậy tập hợp các giá trị của bất phương trình là S = {x|x > 8}.
B) 2x ≥ x + 2.
⇔ 2 lần x trừ x lớn hơn hoặc bằng 2.
⇔ X ≥ 2.
Vậy tập hợp các giá trị thỏa mãn bất phương trình là: S = {x|x ≥ 2}.
C) 2x – 4
⇔ 3x – 2x > -4 + 2.
⇔ X lớn hơn -2.
Vậy tập hợp các giá trị thỏa mãn bất đẳng thức là: S = {x|x > -2}.
D) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5.
⇔ 2,5 + 3,5 ≤ -x + 2x.
⇔ X ≥ 6.
Vậy tập hợp các giá trị thỏa mãn bất phương trình là: S = {x|x ≥ 6}.
E) 3x – 5 > 2(x – 1) + x.
⇔ 3x – 5 > 2x – 1x + 1x.
⇔ 3x – 3x > -2 + 5.
⇔ 0x lớn hơn 3.
Vậy bất phương trình không có giải.
Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình trên một trục số:.
A) 2x – 3 lớn hơn 3(x – 2).
B) (12x + 1)/12 ≤ (9x + 1)/3 – (8x + 1)/4.
C) 5(x – 1) ≤ 6(x – 5/3).
D) (2x – 1)/2 – (x + 1)/6 ≥ (4x – 5)/3.
Hướng dẫn giải bài:
A) Chúng ta có:.
2 lần x trừ 3 lớn hơn 3 lần (x trừ 2).
⇔ 2x – 3 lớn hơn 3x – 6.
⇔ 6 – 3 > 3x – 2x.
⇔ X.
Vậy tập hợp các giải pháp của bất đẳng thức là: S = {x|x.
Biểu đồ số:
B) Chúng ta có:.
(12x + 1)/12 không vượt quá (9x + 1)/3 – (8x + 1)/4.
⇔ (12x + 1)/12 ≤ [4(9x + 1) – 3(8x + 1)]/12.
⇔ 12x + 1 không vượt quá 36x + 4 – 24x – 3.
⇔ 12x + 1 ≤ 12x + 1 (luôn đúng với mọi số x).
Vậy tập hợp giải của bất đẳng thức là S = R.
Đại diện trên trục số:.
Cuối cùng, chúng ta có:
5(x – 1) ≤ 6(x – 1/3).
⇔ 5x – 5 ≤ 6x – 10.
⇔ 10 – 5 ≤ x(6 – 5).
⇔ X ≥ 5.
Vậy tập hợp các giá trị của bất phương trình là: S = {x|x ≥ 5}.
Biểu đồ số:
D) Chúng ta có:.
(2x – 1)/2 – (x + 1)/6 ≥ (4x – 5)/3.
⇔ [3(2x – 1) – (x + 1)]/6 ≥ [2(4x – 5)]/6.
⇔ 3(2x – 1) – (x + 1) ≥ 2(4x – 5).
⇔ 6x – 3 – x – 1 ≥ 8x – 10.
⇔ 3 nhân x nhỏ hơn hoặc bằng 6.
⇔ X ≤ 2.
Vậy tập hợp các giá trị của bất phương trình là: S = {x|x ≤ 2}.
Biểu đồ số:
Bài 3: Giải các bất phương trình bậc hai một biến sau:.
A) -3x² + 2x + 1.
B) x² + x – 12.
C) 5x² -6√5x + 9 > 0.
D) -36x² + 12x -1 ≤ 0.
Hướng dẫn giải bài:
Bài 4: Tìm giá trị m sao cho mọi x thuộc [-1;1] đều là nghiệm của bất đẳng thức:.
3x² – 2(m + 5)x – m² + 2m + 8 ≤ 0.
Hướng dẫn giải bài:
Bài báo xem thêm:.
Giải phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Luyện tập nhiều lần là có thể ghi nhớ được kiến thức không đẳng thức này. Các em cũng đừng quên truy cập vào trang web hoctot.Hocmai.Vn để tìm thêm cho mình nhiều bài học hữu ích nữa nhé! Những bài tập trên tuy rất cơ bản nhưng các em chỉ cần luyện tập nhiều lần là có thể ghi nhớ được kiến thức không đẳng thức này. Những lý thuyết bên trên rất súc tích và được biên soạn gần gũi với sách giáo khoa của cá em vậy nên chúng rất thực tiễn và áp dụng được vào bài tập của các em ở trên lớp. Trên đây là cách giải không đẳng thức mà HOCMAI muốn các em khối 8 tham khảo là luyện tập theo.
