Tam giác vuông là loại tam giác có một góc bằng 90 độ. Cách chứng minh tam giác vuông là sử dụng định lý Pytago. Định lý Pytago nói rằng trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Đường trung tuyến trong tam giác vuông là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh góc vuông với đỉnh của tam giác. Có một số dấu hiệu để nhận biết tam giác vuông. Tính chất của tam giác vuông bao gồm các đặc điểm như tổng độ dài hai cạnh góc vuông bằng độ
Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông có tất cả 5 như sau:.
Chứng minh trong một tam giác có một góc đạt 90 độ.
Chứng minh trong một tam giác có tổng hai góc vuông bằng 90 độ.
Sử dụng định lý Pitago, chứng minh rằng trong một tam giác, bình phương của độ dài một cạnh bằng tổng bình phương của độ dài hai cạnh còn lại.
Chứng minh trong một tam giác có đường trung tuyến tương ứng với một cạnh là bằng một nửa cạnh đó.
Chứng minh trong một tam giác có đường tròn nội tiếp (có một cạnh trùng với đường kính).
Cách 1: Chúng ta cần chứng minh rằng tam giác có tổng 2 góc nhọn là 90 độ (2 góc nhọn bổ trợ) để chứng minh rằng một tam giác là tam vuông.
Ví dụ 1: Tam giác ABC có tổng góc C và góc B bằng 90°.
⇒ Tam giác ABC có góc vuông tại A.
Cách 2: Chứng minh tam giác vuông bằng cách chứng minh rằng tổng bình phương độ dài hai cạnh khác bằng bình phương độ dài cạnh thứ ba.
Ví dụ 2: Tam giác ABC có AC bình phương cộng AB bình phương bằng BC bình phương.
⇒ Tam giác ABC có góc vuông tại A.
Cách 3: Để chứng minh tam giác là tam vuông, ta cần chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến tương ứng với độ dài bằng một nửa cạnh đối diện (cạnh huyền).
Ví dụ 3: Tam giác ABC có M là điểm giữa của BC, biết AM = MB = MC = ½ BC.
=> Tam giác ABC có góc vuông tại A.
* Cách 4: Chứng minh trong tam giác có một góc bằng 90 độ (2 góc còn lại tổng bằng 90 độ).
Cách chứng minh: Đặt góc cần chứng minh vào góc của một tứ giác sau đó chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật, hình vuông, hoặc góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi, hình vuông.
Chứng minh rằng tam giác đó có đường tròn nội tiếp và một cạnh là đường kính, chúng ta cần chứng minh rằng tam giác đó là tam giác vuông. Cách 5:
Ví dụ 4: Tam giác MAB có đường tròn nội tiếp và đường kính AB.
=> Tam giác MAB có góc vuông tại M.
2. Định nghĩa về tam giác vuông:
Tam giác vuông là tam giác có duy nhất một góc vuông ( nghĩa là một góc 90 độ).
Tam giác ABC có góc vuông tại đỉnh A.
+ Hai cạnh AB và AC kề với góc vuông gọi là cạnh bên ( hay còn gọi là cạnh góc vuông).
Cạnh BC đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền.
3. Định lý Pytago liên quan đến tam giác vuông:
Trong một tam giác vuông, bình phương của đường chéo bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại.
4. Đường trung tuyến trong tam giác vuông:
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến tương ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
5. Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông:
• Tam giác có góc vuông là tam giác vuông.
• Tam giác có hai góc nhọn phụ nhau được gọi là tam giác vuông.
• Tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia là tam giác vuông.
• Một tam giác có đường chéo chia đôi một cạnh và cạnh đó là một tam giác vuông.
• Tam giác có đường tròn chạm vào bên trong có một cạnh là đường kính của đường tròn là tam giác vuông.
6. Cách dựng tam giác ABC vuông tại A:
Cho trước cạnh đối diện huyền BC = 5 cm và cạnh góc vuông AC = 3 cm.
Xây dựng đoạn AC có độ dài là 3 cm.
Xây dựng góc CAx với độ lệch 90 độ.
– Dựng cung tròn tâm C bán kinh 5 cm cắt Ax tại B. Nối BC ta có Δ ABC cần dựng.
7. Tính chất của Tam giác vuông:
Đặc điểm 1: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn tương phản nhau (do có 1 góc bằng 90 độ).
Ví dụ: Tam giác DAB có góc vuông tại D.
=> Tổng góc A và B bằng 90°.
Tính chất 2: Trong tam giác góc vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Tam giác DAB có góc vuông tại D.
=> Điểm A nhân với đối tác B cộng với điểm A nhân với đối tác B bằng tổng của điểm A nhân với đối tác B.
Tính chất 3: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến tương ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Ví dụ: Tam giác DAB có góc vuông tại D. có M là trung điểm AB
=> Điểm M trên đường trung tuyến AB bằng một nửa độ dài AB.
8. Bài tập về chứng minh tam giác vuông:
Hãy tính HB, HC. Biết AC = 57 và AH = 15cm. Cho tam giác ABC có góc vuông tại A.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong đó AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AM. Tính độ dài MD, MB, MC.
Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH, hãy tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, HB, HC=14.
Tính độ dài đường cao AH, biết AB = 20cm, HC = 9cm. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Tính độ dài của cạnh BC. Trong tam giác ABC vuông tại A có BD là đường chia đôi góc B. Biết rằng AD = 2cm; BD = 12 cm.
Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC khi biết góc B = 60 độ, cạnh BC = 8cm và tổng cạnh AB + AC = 12cm.
Cho hình thang cân ABCD. Tính độ dài đường cao của hình thang cân ABCD. Trong đó có đáy lớn của hình thang là CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên của hình thang.
Bài 8:.
Hãy tính diện tích tam giác ABC cho biết Góc B = 60 độ, Góc C = 50 độ, AC = 35cm.
Tính diện tích tứ giác ABCD, cho tứ giác ABCD có góc A = Góc D = 90 độ, Góc C = 40 độ, AB = 4cm, AD=3cm.
Bằng cách sử dụng công thức trigonometric, chúng ta có thể tính toán diện tích hình tứ giác ABCD khi biết đường chéo AC và BD, cũng như góc AOB.
Tính chu vi tam giác ABC và cạnh BH, CH. Biết chu vi tam giác AHB = 40cm, chu vi tam giác ACH = 50cm. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao là AH.
Bài 10: Chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ lần lượt với 8, 15, 17.
A) Chứng tỏ rằng tam giác là một tam giác góc vuông.
B) Tính khoảng cách từ điểm giao của ba đường chia đôi đến từng cạnh của tam giác.
Cho tứ giác lồi ABCD có cạnh AB = AC = AD = 10cm, góc A là 90 độ và góc B là 60 độ. Bài 11:
A) Tính chiều dài đường chéo BD.
B) Tìm khoảng cách giữa Bắc Hải và Đại Khái từ B và D đến mép AC.
C) Tính chiều dài HK.
D) Đường BE vuông góc với DC kéo dài, tính độ dài BE, CE và DC.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong đó AB = a, AC = 3a. Cạnh AC, lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Bài 12:
A) Chứng tỏ rằng DEDB=DBDC.
B) Chứng tỏ tam giác BDE tương tự với tam giác CDB.
C) Tính tổng góc AFB + góc BCD.
Từ hình tam giác ABC, chúng ta tiếp tục vẽ đường thẳng BM và từ điểm M chúng ta chọn điểm D sao cho OD bằng a^2. Với đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, chúng ta bắt đầu vẽ đường thẳng Mx vuông góc với AB.
A) Tính độ dài cạnh AD, AC và BC theo a.
A) Chứng minh bốn điểm A, B, C và E đều thuộc một đường tròn, với đường tròn kéo dài DO sao cho ME = a.
Bài 15: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 6cm, cạnh AC = 8cm, cạnh BC = 10cm.
A. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông ở A.
Chứng minh EA = EP. Vẽ đường thẳng chia đôi góc B (E thuộc AC), từ E có EP vuông góc với BC (P thuộc BC).
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm và AC = 8cm. Hãy tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến các đỉnh khác của tam giác.
O là trung tâm của AC.
A. Tính độ dài cạnh BC.
B. Chứng tỏ góc CBO có giá trị bằng góc OCB.
C. Trên tia đối của tia OB lấy điểm F sao cho OF = OC. Chứng minh rằng tam giác BEC vuông.
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, đã biết AB = 5cm, BC = 13cm.
A. Tính chiều dài cạnh AC.
B. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính chiều dài ba cạnh AH, BH, CH.
C. Gọi E là điểm trung tâm của BC. Tính chiều dài của AE.
D. Trên tia đối tia EA lấy O sao cho EO = EA. Chứng minh BO = AC và BO // AC.
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông ở A.
A. Tính độ dài cạnh AC khi biết AB = 5cm và BC = 13cm.
So sánh góc ABI và góc CBI. Đường thẳng đi qua điểm E cắt đường thẳng AC tại điểm I sao cho IE vuông góc với BC tại điểm E. Trên cạnh BC, chọn điểm E sao cho BE = BA.
C. Nếu tam giác ABC có góc A = 30O và EC = 6cm. Hãy tính chu vi của tam giác ABC.
Bài 20:.
Cho tam giác ABC có cạnh AB = 6cm, cạnh AC = 4,5cm, cạnh BC = 7,5cm.
A) Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC có góc vuông tại A.
B) Hỏi rằng điểm M ở đâu thì diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC?
Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung bình BM, CN giao nhau tại G. Chứng minh.
A. BM=CN.
B. AG là đường chia hai góc BAC.
C. MN//BC.
Đoạn văn trên không đủ dài để thực hiện việc thay đổi cấu trúc. Xin vui lòng cung cấp một đoạn văn dài hơn để tôi có thể thực hiện yêu cầu của bạn.
A. Tính độ dài cạnh BC.
B. Chứng minh góc CBN là góc NCB.
C. Trên tia đối của tia NB lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng tam giác BEC vuông.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. A. Tính AC biết AB = 5cm và BC = 13cm.
B. Chọn điểm E trên cạnh BC sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E cắt AC tại I sao cho IE vuông góc với BC tại E. So sánh góc ABI và góc CBI.
C. Nếu tam giác ABC có góc A = 30O và EC = 6cm. Tính chu vi của tam giác ABC.
