Phương trình bậc 2 là một trong những dạng phương trình xuất hiện rất nhiều trong quá trình học, làm bài tập hay cả trong các bài thi trong chương trình THCS. Độ khó của dạng bài này cũng vô cùng đa dạng khác nhau nên đã khiến không ít các em học sinh gặp khó khăn. Chính vì vậy, HOCMAI sẽ chia sẻ cách giải phương trình bậc 2 để các em có thể nắm được các kiến thức tổng quát nhất về dạng phương trình này.
Phương trình bậc hai là phương trình tổng quát có dạng: ax2+bx+c=0 ( với điều kiện: a≠0) (1).
Tìm tất cả các giá trị của x để thỏa mãn khi thay x vào phương trình (1), ax2+bx+c=0, là việc giải phương trình bậc 2.
Có thể xem xét bài viết: Phương trình cấp 2 một chưa biết để hiểu thêm kiến thức chi tiết. Các bạn học sinh.
B. Phương pháp giải phương trình bậc 2
Để giải phương trình bậc 2, các học sinh cần thực hiện theo những bước sau:.
Bước 1: Tính giá trị delta của Δ với Δ=b²-4ac.
Bước 2: Kiểm tra tập nghiệm của phương trình bằng cách so sánh Δ với 0.
Δ phương trình bậc 2 không có nghiệm.
Δ = 0 => phương trình bậc 2 có nghiệm trùng x1 = x2 = -b/2a.
Nếu Δ > 0, phương trình (1) sẽ có 2 nghiệm khác nhau, chúng ta sử dụng công thức nghiệm sau:.
Đoạn văn đã chỉnh sửa: Đảo chuỗi: Trong một số trường hợp đặc biệt, lưu ý các em học sinh có thể tính toán nhanh nghiệm của phương trình bậc 2.
Một số ví dụ giải phương trình bậc hai.
Ví dụ 1: Giải phương trình 4×2 – 2x – 6 = 0.
Ta có: Δ = (-2)2 – 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 lớn hơn 0.
=> Vậy phương trình 4×2 – 2x – 6 = 0 có 2 nghiệm khác nhau.
Sử dụng công thức chúng ta có:
Các bạn học sinh có thể áp dụng công thức tính toán trong đầu nhanh chóng như HOCMAI đã đề cập ở trên bằng cách sau:
Bởi vì a – b + c = 4 – (-2) + (-6) = 0.
Vậy giá trị của phương trình đã được cho là: x1 = -1; x2 = – (-6)/4 = 3/2.
Ví dụ 2: Giải phương trình 2×2 – 7x + 3 = 0.
Ta có Δ = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24= 25 lớn hơn 0.
=> Do đó, phương trình 2×2 – 7x + 3 = 0 có 2 nghiệm khác nhau.
Sử dụng công thức chúng ta có:
Các bạn học sinh có thể đặt 2 kết quả vừa tìm thấy vào phương trình trên để kiểm tra xem chúng đã đúng hay chưa.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình 3×2 + 2x + 5 = 0.
Ta có Δ = 22 – 4.3.5 = -56 < 0.
=> Do đó, phương trình 3×2 + 2x + 5 = 0 không có nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình x2 – 4x +4 = 0.
Ta có Δ = (-4)2 – 4.4.1 = 0.
Vậy phương trình x2 – 4x +4 = 0 có nghiệm trùng nhau (hay phương trình có 2 nghiệm giống nhau).
Dạng kết quả: x = 2 do đó phương trình trên có dạng (a – 2)² = 0, vì vậy các học sinh có thể sử dụng công thức quan trọng: (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 trong câu hỏi này. Bên cạnh đó,
C. Một số dạng bài về giải phương trình bậc 2
Dạng 1: Bài tập giải phương trình bậc 2 không chứa tham số
Công thức để tìm các giá trị của phương trình là áp dụng công thức tính 2 giá trị Δ hoặc Δ’, sau đó sử dụng phương pháp phổ biến nhất. Để giải được phương trình có cấu trúc như vậy.
Ví dụ 1: Giải những định thức sau:.
Hướng dẫn giải quyết:
1. Chúng ta có Δ=(-3)2 – 4 x 2 = 1.
Vậy giải pháp của phương trình là:.
Vậy suy ta có thể 2/1 = 2 và x1 = 1 kết quả của phương trình suy ra có thể ta ta Vậy 2 + (-3) + 1 = 1 tính phương pháp của áp dụng có thể ta có công thức của nghiệm suy trường tính phương pháp áp dụng ta có thấy: phương trình của nghiệm suy trường tính phương pháp áp dụng ta có ra thấy: phương trình của nghiệm suy trường tính phương pháp áp dụng ta có ra thấy: phương trình của nghiệm suy trường tính phương pháp áp dụng ta có ra thấy: phương trình của nghiệm suy trường tính phương pháp áp dụng ta có ra thấy: phương trình của nghiệm suy
2. Chúng ta có Δ=12 – 4 . (-6) = 25. Vậy giá trị của x trong phương trình đã cho là.
Vậy giá trị của biến trong phương trình đã cho là x1 = 2; x2 = -3.
Một số trường hợp riêng biệt của phương trình bậc 2 không có chứa tham số.
Trường hợp 1: Phương trình khuyết hạng tử
Phương trình bậc hai khuyết hạng có dạng: ax² + c = 0.
=> X² = -c/a.
Nếu -c/a > 0 thì nghiệm của phương trình là x = ±√(-c/a).
Nếu -c/a < 0 thì phương trình không có nghiệm.
Nếu -c/a = 0 thì phương trình có nghiệm x = 0.
Phương trình bậc hai có dạng: ax2+bx=0.
Phương pháp: Chúng ta giả sử x là nhân tử chung. Khi đó, phương trình được biến đổi thành dạng:.
X.(Ax + b) = 0.
Giá trị của phương trình là:.
Cộng x với 0.
Khi cộng x với -b/a.
Các ví dụ về phương trình bị thiếu hạng tử.
A. X2 – 4 = 0.
B. X2-3x=0.
Hướng dẫn giải pháp.
A. X2 – 4 = 0. ⇔ x2 = 4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
Vậy giải pháp của phương trình là:. x1 = 2 và x2 = -2
B. X2 – 3x = 0 ⇔ x.(X – 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.
Vậy giải pháp của phương trình là:. x1 = 0 và x2 = 3
Trường hợp 2: Phương trình đưa về dạng bậc 2.
Công thức có dạng phương trình trùng phương là: ax4+bx2+c=0 (a≠0).
Cách thức thực hiện.
Phương trình bao gồm ẩn trong mẫu.
Cách thức thực hiện.
Lưu ý: Phương pháp đặt ẩn phụ, còn được gọi là phương pháp giải phương trình trung phương, đặt t = x2 (t≥0). Bên cạnh đó, phương pháp này không luôn cứng nhắc chỉ được đặt t = x2. Các em học sinh cũng cần khéo léo lựa chọn ẩn phụ sao cho vừa đưa về dạng phương trình bậc 2, vừa tạo ra phương trình mới tối giản nhất. Ví dụ, có thể đặt ẩn phụ có dạng t = x + 1, t = x2 + x, t = x2 – 1… Tùy từng bài toán khác nhau.
Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có chứa tham số
Biện luận tham số về số nghiệm của phương trình bậc 2
Phương pháp giải quyết:.
Theo công thức tính Delta, các bạn học sinh sử dụng tham số m. Sau đó, xét dấu của Delta để biện luận số nghiệm của phương trình theo m.
Δ phương trình bậc 2 không có nghiệm.
Δ = 0 => phương trình bậc 2 có một nghiệm kép (1 nghiệm).
Nếu Δ > 0 thì phương trình bậc 2 sẽ có 2 nghiệm riêng biệt.
Ví dụ: Tìm và biện luận về số nghiệm của phương trình: mx2-5x-m-5=0 theo m.
Hướng dẫn giải quyết:
Giả sử m=0, khi đó phương trình có dạng -5x – 5 = 0 ⇔ x = -1.
Xét trường hợp m khác 0, khi đó phương trình là phương trình bậc 2.
Ta có: Δ = (-5)² – 4m(-m – 5) = (2m + 5)².
Vì Δ≥0 nên phương trình trên luôn có giải.
Trong trường hợp Δ = 0 ⇔ m = -5/2, phương trình chỉ có một nghiệm.
Δ>0 ⇔ m ≠ -5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Giá trị của phương trình là:.
Xác định điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu của đề bài
Phương pháp giải quyết:. để tập nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, điều kiện tiên quyết đầu tiên là phương trình phải có nghiệm. Các em học sinh thực hiện các bước sau:
Có 2 giá trị x thỏa mãn điều kiện sau: Tìm m để phương trình trên có dạng x² + mx + m + 3 = 0, với phương trình bậc 2. Ví dụ:
Hướng dẫn giải pháp.
Để phương trình trên có giá trị Δ không âm.
Vì vậy, chúng ta có:
Gọi 2 nghiệm của phương trình bậc 2 lần lượt là x1 và x2, theo định lý Vi-et chúng ta có:.
Bên cạnh đó, theo thông tin được cung cấp, chúng ta có:
Do đó, chúng ta có thể kết luận được:.
M² – 2m – 6 = 9.
M có thể bằng 5 hoặc bằng -3.
Thay thế m bằng Δ chúng ta có:
Khi m = 5 => Δ = -7 < 0 (loại bỏ).
Khi m = -3 => Δ = 9 > 0 (đúng điều kiện).
Có 2 giá trị thỏa mãn điều kiện như yêu cầu khi m = -3, phương trình x² + mx + m + 3 = 0.
Trên đây là tất cả thông tin cần hiểu về cách giải phương trình bậc 2. Mong rằng bài viết trên sẽ hỗ trợ học sinh có thêm kiến thức và đạt kết quả tốt nhất trong các kỳ thi sắp tới.
