Mở đầu
Để diễn đạt ý nghĩa của chúng, bài này tôi muốn giải thích về bản chất của ba khái niệm quan trọng nhất trong đại số giải tích là đạo hàm, tích phân và vi phân.
Đạo hàm, tích phân và vi phân được đề cập đến một cách rõ ràng, không đi vào chi tiết chứng minh các công thức, định nghĩa trong bài viết này.
Không hiểu vì sao nó lại có được công thức rườm rà như vậy, và không ai quan tâm tới bản chất nó là cái gì, nó để làm gì. Lúc đó chúng ta chỉ tập trung vào làm bài, bài toán tính đạo hàm hoặc tích phân, tính tiếp tuyến đồ thị, khảo sát hàm số. Nếu bạn đã từng có một thời kỳ căng thẳng làm bài đại học ngày xưa, thì chắc không thể quên được bài toán đầu đề.
Sẽ có thể hình dung được ý nghĩa của nó nếu bạn hiểu tiếng Trung của 3 từ đạo hàm, tích phân và vi phân.
Tôi muốn tiếp cận từng phần.
Nếu xét hàm số y = f(x) thì:.
Đạo hàm
Đạo (tiếng hán 導) nghĩa là chỉ dẫn, chỉ đạo, nó cũng nằm trong các từ: đạo diễn, chỉ đạo, lãnh đạo,…
Động thái “hàm số” có nghĩa là hàm trong lĩnh vực toán học, từ “hàm” ở đây mang ý nghĩa là hàm (tiếng Trung 函).
Ảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tức đạo chỉ sự giảm biến của hàm f(x) là tứ
Khi nói về “đạo hàm”, chúng ta mặc định đang đề cập tới đạo hàm bậc 1. Tuy nhiên, nếu muốn chỉ rõ là đạo hàm bậc cao hơn 1, chúng ta phải nói rõ đó là bậc mấy, ví dụ như đạo hàm bậc 2, bậc 3,…
Một điểm x bất kỳ, hàm số f(x) tại x0 có đường tiếp tuyến có độ dốc (hay hệ số góc) là giá trị của đạo hàm tại x0. Đạo hàm của f(x) được ký hiệu là f'(x) và mô tả sự biến thiên tức thời của hàm f(x). Xem phần độ dốc dưới đây.
Công cụ chính của đạo hàm là để xác định mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều biến số. Ví dụ, nếu x tăng thì y tăng hoặc giảm, và tăng hoặc giảm nhanh hay chậm, thông qua đó ta có thể biết được. Ứng dụng này rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực cuộc sống vì không cần thực hiện nghiên cứu, đo lường thực tế để chứng minh điều này, chỉ cần áp dụng đạo hàm để tính toán.
Làm thế nào để miêu tả được sự thay đổi nhanh chóng của hàm y = f(x) tại x0?
Là tốc độ của một chất điểm chuyển động, nó được tính bằng quãng đường đang di chuyển ngay lập tức (giá trị tính theo f(x)) chia cho thời gian đang di chuyển ngay lập tức (giá trị tính theo x) đi qua quãng đường đó, ví dụ dễ hiểu nhất và chính xác nhất cho sự biến thiên ngay lập tức này.
Sự thay đổi ngay lập tức tại điểm x0 này chính là sự thay đổi của f(x) khi x di chuyển một khoảng rất nhỏ từ x0 đến x1, hiệu x1 – x0 = ∆x = dx nhỏ tới mức gần như bằng 0 (không thể hoàn toàn bằng 0 vì nếu như vậy sẽ không có sự di chuyển, và nếu không có sự di chuyển thì không thể có khái niệm biến thiên tức thời được).
Đến gần ∆x khi 0 đến tiến dần ∆x là khi x0 – x1 = f(x0) – f(x1) = f'(x) = y’ của x tại hàm f.
Y’ = f'(x) =lim∆x→0f(x0 + ∆x) – f(x0)∆x = dydx.
Đó là góc mà đường tiếp tuyến tại điểm x0 cắt trục x.
Tại x0, nếu hàm số f(x) có đường thẳng tiếp tuyến, thì sẽ tồn tại đạo hàm tại x0. Ngược lại, nếu không có đường thẳng tiếp tuyến, thì sẽ không tồn tại đạo hàm tại x0.
Công thức đạo hàm: y’ = f’(x) = dydx
Độ dốc
Một phương thức nhảy hoặc điều chỉnh chậm tăng (hoặc giảm) hàm số tại điểm xác định được cho bởi độ dốc (hoặc hệ số góc).
Một đường thẳng trên một mặt phẳng, độ dốc được xác định là tỉ lệ giữa sự biến thiên ở tọa độ y chia cho sự biến thiên ở tọa độ x: m = ∆y∆x = tan(θ).
Tại điểm x0, độ dốc của tiếp tuyến của hàm số f(x) được tính bằng cách tính đạo hàm tại x0 như đã được đề cập ở trên.
Tại sao lại gọi là độ dốc?
Bởi vì khi nó càng dốc thì hàm số biến đổi càng nhanh chóng và ngược lại.
Khi góc nghiêng = 3, tọa độ y tương ứng sẽ biến đổi nhanh gấp khoảng 3 lần nếu tọa độ x biến đổi nhanh một (không phải tuyệt đối = 3).
Đạo hàm cấp 2
Giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm trong ngữ cảnh này là khi điểm x0 có đồ thị của đường cong “cong” đang hướng xuống hay hướng lên. Đạo hàm cấp 2 tại điểm x0 xác định điều này.
Cách tính đỉnh của đồ thị là ta tìm đạo hàm của hàm số bằng 0. Tuy nhiên, ta không biết đồ thị đang thay đổi hướng từ đi lên sang đi xuống hay từ đi xuống sang đi lên. Ta đã biết phía trên ta có thể tính được đỉnh của đồ thị.
Được tính đạo hàm thứ hai tại x0, chúng ta chỉ cần để nhận biết đồ thị đang “cong” hướng lên hoặc xuống.
Công thức đạo hàm cấp 2: y'' = f''(x) = dydx' = d2ydx2
Nguyên hàm
Do nguyên hàm được định nghĩa từ đạo hàm, do đó ta thay phần nguyên hàm vào phần con của đạo hàm. Ngược lại, việc tìm nguyên hàm đồng nghĩa với việc tìm đạo hàm của mình.
Hàm số f(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số F(x) nếu ta tìm được F(x) sao cho F'(x) = f(x).
Vì vi phân của hằng số bằng 0, nên có vô số hàm số F(x) như vậy. Do đó, các nguyên hàm của f(x) sẽ có dạng là F(x) = biểu thức phụ thuộc vào x + hằng số C.
Ví dụ f(x) = x2 thì F(x) = x33 + C.
Vi phân
Chữ vi (tiếng hán 微) có ý nghĩa là nhỏ (như vi khuẩn, vi sinh vật, tinh vi).
Chữ phân (tiếng Hán 分, cũng đọc là phần) có ý nghĩa là chia thành từng mục (như phân nửa, phân tách, phân phối).
Áp dụng phép vi phân vào hàm số là khi chia một hàm số thành các phần rất nhỏ, vi phân có nghĩa là từng phần rất nhỏ.
Đoạn văn sau khi tái cấu trúc: Trong phân tích vi phân, giá trị của hàm số y tại mỗi đoạn nhỏ dx = ∆x = x1 – x0 được hiểu là vi phân của y. Ví dụ, khi x di chuyển từ x0 đến x1 một khoảng rất nhỏ, vi phân (đoạn nhỏ của y) được tính bằng công thức f'(x) = f(x) * ∆x, trong đó f'(x) là giá trị biến đổi tức thời, ∆x là khoảng thay đổi của tham số. Đơn giản, vi phân cũng có thể hiểu là quãng đường biến đổi tức thời, hay nói cách khác, tốc độ của sự biến đổi theo thời gian trong khoảng thay đổi đó.
Đạo hàm của hàm số y = f(x) được ký hiệu là dy hoặc df(x).
Công thức vi phân: dy = df(x) = f(x1) - f(x0) = f’(x)dx = y’dx
Đối phân của hàm tại x0 = đạo hàm của hàm tại x0 nhân với sự biến đổi rất nhỏ của x gần x0 (là dx), xét về mặt công thức như vậy.
Đầu ra: Hàm số y = f(x) sử dụng vi phân để chia nhỏ thành từng phần nhỏ, trong khi đó, đạo hàm sử dụng tỉ lệ dy/dx để biểu thị sự biến đổi tức thì. Tuy nhiên, hai khái niệm này hoàn toàn độc lập.
Tích phân
Chữ tích (tiếng hán 積) có ý nghĩa là xếp chồng, xếp lên nhau (như tích góp, tích lũy).
Ký tự phân (tiếng Hán 分) đã được đề cập ở trên.
=> Tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ.
Và mỗi phần nhỏ này là tích của dx và hàm f(x).
Các phần nhỏ của tổng là các phần thành tách rời nhau và là phần chia và phân vị của công thức nội dung công thức, công phân, phân vị của công thức nội dung công thức, công phân, phân vị của công thức nội dung công thức, có ý nghĩa mặt về nhau ngược lại không có ý nghĩa mặt về nhau ngược lại không có ý nghĩa mặt phân nhỏ các của tổng là các phần thành tách rời nhau và là phần chia và phân vị của công thức nội dung công thức, công phân, phân vị của công thức nội dung công thức, công phân, phân vị của công thức nội dung công thức, có ý nghĩa mặt về nhau ngược lại không có ý nghĩa mặt về nhau ngược lại không có ý nghĩa mặt.
Do đó, khi x di chuyển từ a đến b, tích phân xác định cũng là diện tích của hình được tạo thành bởi đồ thị của hàm số f(x) và các đường thẳng x = a, x = b. Vì có phương pháp tính như vậy, bạn có thể chứng minh điều này bằng cách tham khảo lại sách giải tích.
Công thức tích phân: ∫abf(x)dx
Còn mối liên hệ của đạo hàm và tích phân là gì? Chúng ta đã đề cập đến được mối liên hệ của đạo hàm và vi phân, của vi phân và tích phân rồi.
Công thức Newton-Leibniz là trọng tâm của đạo hàm và tích phân. Từ đạo hàm, chúng ta có thể tính được tích phân mà không thấy có mối liên hệ nào rõ ràng về ý nghĩa giữa hai khái niệm này. Nhìn vào công thức, không thấy có mối liên hệ nào giữa đạo hàm và tích phân về mặt ý nghĩa rõ ràng.
Giả sử muốn tính diện tích dưới đường cong của hàm số f(x) khi x di chuyển từ a đến b thì:
Công thức Newton-Leibniz: S =∫abf(x)dx = g(b) – g(a) với g(x) là hàm nguyên của f(x).
Dễ dàng tính toán ngay lập tức, nếu chúng ta xác định được hàm nguyên (hàm nguyên là hàm đảo ngược của đạo hàm, do đó mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân chính là thông qua hàm nguyên). Vậy để tính toán tích phân xác định của một hàm số, chúng ta sẽ.
Kết luận
Chúng ta có thể suy ra mối quan hệ giữa đạo hàm, tích phân và vi phân như sau:.
