1. Vectơ chỉ hướng của đường thẳng.
Định nghĩa:
Vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{u}\) ≠ \(\vec{0}\) và giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với \(∆\).
Nhận định:.
– Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{u} ( k≠ 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(∆\) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình đại số của đường thẳng.
– Phương trình tham số của đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và nhận vectơ \(\vec{u} = (u_1; u_2)\) làm vectơ chỉ phương là :.
\(∆\) : \(\Left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\).
-Khi \(u_1≠ 0\) thì tỉ số \(k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và có hệ số góc k là:.
\(Y – y_0 = k(x – x_0)\).
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng \(∆\) hợp với chiều dương của trục \(Ox\).
3. Vector pháp tuyến của đường thẳng.
Định nghĩa: Vectơ \(\vec{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{n}\) ≠ \(\vec{0}\) và \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\).
Nhận xét:.
– Nếu \(\vec{n}\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) thì k\(\vec{n}\) \((k ≠ 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(∆\), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến tương ứng của nó.
4. Phương trình chung của đường thẳng.
Định nghĩa: Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc trưng:
+ Nếu \(a = 0 => y = \dfrac{ -c}{b}; ∆ // Ox\) hoặc trùng Ox (khi c=0).
+ Nếu \(b = 0 => x = \dfrac{ -c}{a}; ∆ // Oy\) hoặc trùng Oy (khi c=0).
+ Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 => ∆\) đi qua gốc tọa độ.
+ Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \(A(a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(∆\) :.
\(\Dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\).
5. Vị trí liên quan của hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Có phương trình tổng chung tương ứng là :.
A1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0.
Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ hai phương trình:.
(1) \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\).
Chúng ta có những trường hợp sau đây:
A) Hệ (1) có một giải pháp duy nhất: ∆1 giao ∆2.
B) Hệ (1) không có nghiệm: ∆1 // ∆2.
C) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 \( \equiv \)∆2.
6.Góc giữa hai đường thẳng.
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 giao nhau tạo thành 4 góc.
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được gọi là góc nhọn trong số bốn góc đó nếu ∆1 không góc vuông với ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 là 900.
Trong trường hợp ∆1 và ∆2 cùng một đường thẳng hoặc trùng nhau, chúng ta xác định góc giữa ∆1 và ∆2 là bằng 00.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 900.
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\).
Cung cấp cho hai đường thẳng:.
Phương trình ∆1: a1x+b1y + c1 = 0.
Phương trình ∆2: a2x+b2y + c2 = 0.
Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\).
\(\Cos \varphi\) = \(\dfrac{|a_{1}.A_{2}+b_{1}.B_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\).
Chú ý:.
+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\) \( \Leftrightarrow {a_1}.{A_2} + {b_1}.{B_2} = 0\).
+ Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì.
\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{K_2} = – 1\).
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)).
Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức.
\(D(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\).
Loigiaihay.Com.
