Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết Và Bài Tập

Phần tri thức quan trọng trong chương trình hình học lớp 12 là bài tập phương trình đường thẳng trong không gian và thường xuyên xuất hiện trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia. Bài viết dưới đây của VUIHOC sẽ hỗ trợ các em ôn tập kiến thức và các dạng bài tập kèm theo hướng dẫn giải chi tiết.

1. Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian

1.1. Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian

Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a; b; c)$.

Phương trình có tham số d:.

$X = x_{0} + v_{0}t$.

$Y = y_{0} + xt$.

$Z = z_{0} + ct$.

$(T \epsilon R)$.

1.2. Phương trình cơ bản của đường thẳng trong không gian.

Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$.

Phương trình đường thẳng của d có dạng: $rac{x – x_{0}}{a} = rac{y – y_{0}}{b} = rac{z – z_{0}}{c} (abc eq 0)$.

1.3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng 1 đi qua $M_{1}$ và có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Khi đó vị trí tương đối $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ được xác định như sau:.

1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng (P): $Ax + By + Cz + D = 0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{u} = (A; B; C)$. Khi đó:.

1.5. Góc giữa 2 đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng $\Delta_{1}$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ khi đó:.

1.6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (a; b; c)$ mặt phẳng (P) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{n} = (A; B; C)$. Khi đó:.

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN RIÊNG TƯ.

Khóa học trực tuyến duy nhất và duy nhất:.

⭐ Xây dựng kế hoạch học từ cơ bản đến 27+.

⭐ Lựa chọn giáo viên, nhóm học sinh, môn học theo sở thích.

⭐ Giao tiếp trực tiếp hai chiều với giáo viên.

⭐ Học đi học lại cho đến khi hiểu bài thì thôi.

⭐ Rèn kỹ năng và mẹo giúp gia tăng hiệu suất làm bài trong thời gian ngắn.

⭐ Tặng toàn bộ tài liệu độc nhất vô nhị trong quá trình học tập.

Đăng ký thử học miễn phí ngay!!

1.7. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

Cho điểm M cùng đường thẳng $\Delta$ đi qua N có vectơ $\overrightarrow{u}$. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến $\Delta$ xác định bởi công thức.

1.8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cách 1:.

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta_{1}$ đi qua $M_{1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} . \Delta_{2}$ đi qua $M_{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}$. Khi đó:.

Cách 2:.

Gọi AB là đoạn thẳng vuông góc $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ với $A \epsilon \Delta_{1}, B \epsilon \Delta_{2}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} \, . \, \Overrightarrow{u_{1}} = 0$ hoặc $\Rightarrow \overrightarrow{AB} \, . \, \Overrightarrow{u_{2}} = 0$.

$\Rightarrow d(\Delta_{1}, \Delta_{2})=AB$.

2. Các dạng bài tập về viết phương trình đường thẳng trong không gian và cách giải

2.1. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Ví dụ 1: Với hệ tọa độ Oxyz trong không gian đề cập đến đường thẳng.

D: $\frac{x + 1}{2}=\frac{y – 1}{1}=\frac{z – 2}{3}$ và mặt phẳng P: $x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với d, song song với (P) và đi qua A(1; 1; -2).

Giải:.

Để tìm được vectơ chỉ phương của $\Delta$ ta phải tìm 2 vectơ chỉ phương không cùng phương của nó sau đó tìm tích có hướng của 2 vecto.

Như vậy ta có: $\overrightarrow{u_{\Delta}}=[\overrightarrow{u_{d}}; \overrightarrow{_{p}}]=(2; 5; -3)$.

Trong đó: $\overrightarrow{u_{d}} = (2; 1; 3); \overrightarrow{_{p}}=(1; -1; -1)$.

$\Delta$ đi qua A(1; 1; -2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (2; 5; -3)$.

$\Rightarrow$ Ta có phương trình: $\Delta : \frac{x – 1}{2} = \frac{y – 1}{5} = \frac{z + 2}{ -3}$.

Ví dụ 2: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng.

$\Delta: \frac{x – 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{ -1}$ và mặt phẳng P: $x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc và cắt với $\Delta$, qua M(2; 1; 0).

Giải:.

2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

Ví dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng.

$D: \frac{x + 1}{3}=\frac{y – 2}{ -2}=\frac{z – 2}{2}$ và $P: x + 3y + 2z + 2=0$. Viết phương trình của $\Delta$ song song với (P), cắt đường thẳng (d) và đi qua M(2; 2; 4).

Giải:.

Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian có đường thẳng $d: \frac{x – 1}{2}=\frac{y + 1}{1}=\frac{z}{ -1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A(2; 3; -1) và cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến $\alpha: x + y + z = 0$ bằng $2\sqrt{3}$.

Giải:.

Do $B \epsilon d \Rightarrow$ Tọa độ B(1 + t; 2 + 2t; -t).

Do khoảng cách từ B tới $\alpha: x + y + z = 0$ bằng $2\sqrt{3}$ nên:.

$\Delta$ đi qua B(3; 6; -2) và nhận $\overrightarrow{AB} (1; 3; -1)$ làm vecto chỉ phương:.

$\Rightarrow$ Phương trình $\Delta: \frac{x – 3}{1}=\frac{y – 6}{3}=\frac{z – 2}{ -1}$.

$\Delta$ đi qua B(-3; -6; 4) và nhận $\overrightarrow{AB}(-5; -9; 5)$ làm vecto chỉ phương:.

$\Rightarrow$ Phương trình $\Delta: \frac{x + 3}{ -5}=\frac{y + 6}{9}=\frac{z – 4}{5}$.

2.3. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt cả 2 đường thẳng $d_{1}: 2x + 3x + 11 = 0$ hoặc $y – 2z + 7 = 0$ và $d_{2}: rac{x – 2}{2}=rac{y + 1}{3}=rac{z – 1}{ -5}$, cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian.

Giải:.

Viết công thức đường thẳng:.

Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian với 3 đường thẳng có phương trình:.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ biết $\Delta$ cắt $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ lần lượt tại A, B, C để AB = BC.

Giải:.

Xét 3 điểm A, B, C lần lượt đặt trên $d_{1}; d_{2}; d_{3}$.

Cấu trúc câu trong đoạn văn được đảo ngược như sau: A(4 – t; t; -1 + 2t); B(3 – 3u, u, -3u) và C(1 + 5v, 1 + 2v, -1 + v) giả sử.

Ta có A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng và BC = AB ⇔ B là trung điểm của BC.

Tọa độ 3 điểm A(1; 3; 1); B(0; 2; 0); C(-1; 1; -1).

$\Delta$ đi qua B(0; 2; 0) và có $\overrightarrow{CB}(1; 1; 1)$.

Trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán, hãy xem ngay tài liệu tổng hợp đầy đủ kiến thức và cách giải các loại bài tập.

2.4. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian, đường thẳng $d: x = 2 + 4t; y = 3 = 2t$ và $z = -3 + t$. Mặt phẳng $(P): -x + y + 2z + 5 = 0$. Viết phương trình nằm trong mặt phẳng (P) song song và cách d một khoảng bằng $\sqrt{14}$.

Giải:.

Một ví dụ khác là:

Giải:.

Sớm hiệu quả và phù hợp nhất với chính mình, hãy đăng ký ngay để được các giáo viên tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi.

Truy cập vào trang web Vuihoc.Vn ngay bây giờ để nắm bắt thêm nhiều kiến thức về môn toán học lớp 12. Hy vọng rằng qua bài viết này các bạn có thể tự tin khi làm các bài tập trong phần này. Trên đây là tất cả kiến thức lí thuyết và các bài tập về phương trình của đường thẳng trong không gian.